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Technische Universität München

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Forschungseinrichtung Satellitengeodäsie

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Die Hochpräzisionsvermessung der Mondbewegung

M. Schneider, J. Müller, U. Schreiber, D. Egger

Inhalt


Zusammenfassung

Seit 1969 werden von mehreren Bodenstationen auf der Erde Laufzeitmessungen von Laserpulsen zum Mond nach dem Puls-Echo-Verfahren durchgeführt. Die Analyse der Lasermessungen liefert eine Fülle von Parametern, die die Dynamik des Erde-Mond-Systems skalieren. Darüberhinaus können eine Reihe von Voraussetzungen der Einstein'schen Gravitationstheorie geprüft werden.

Nach einem kurzen Einblick in das Meßproblem und das Erkennen von Treffern wird das Auswertemodell skizziert und werden Ergebnisse von Parameterbestimmungen vorgestellt.

Das Meßproblem

Auf der Mondoberfläche wurden während der bemannten Missionen Apollo 11, 14 und 15 sowie der unbemannten Missionen Luna 17 und Luna 21 Reflektoranordnungen abgesetzt. Der mit Luna 17 abgesetze Reflektor kann nicht angemessen werden, weil er wahrscheinlich beim Rückstart der Landefähre mit Staub bedeckt wurde. Nach diesen Reflektoren werden seit 1969 Lasermessungen nach dem Puls-Echo-Verfahren durchgeführt. Dazu werden kurze Laserpulse (Pulslänge etwa 150-200 psec) von Stationen auf der Erde abgestrahlt, von den Reflektoren, zusammengesetzt aus bis zu 300 Tripelprismen, reflektiert und auf der Bodenstation empfangen. Gemessen wird die Laufzeit zwischen dem Abgang eines Pulses bis zu dessen Rückkehr, indem durch geeignete Detektoren Start- und Stopereignisse definiert werden, aus deren zeitlichem Abstand die Laufzeit ermittelt wird.

Ein einzelner Sendepuls enthält etwa 1018 Photonen, die sich auf dem Hin- und Rückweg durch die refraktive, dispersive und turbulente Atmosphäre bewegen. Die Laufzeit eines Laserpulses beträgt bei einer mittleren Mondentfernung etwa 2.55 Sekunden, sie kann auf 10-10 Sekunden genau gemessen werden, unter günstigen Bedingungen sogar um einen Faktor 3 besser.

Die heute eingesetzten Nd:YAG-Festkörperlaser werden mit einer Pulsfolgefrequenz von 10 Hz betrieben, so daß während der Laufzeit eines Pulses von 2.55 Sekunden rund 25 Pulse unterwegs sind. Das macht eine ausgeklügelte Sende/Empfangsumschaltung auf der Bodenstation erforderlich, die das Feuern des Lasers mit den Zeitpunkten für den Empfang der Echos entsprechend synchronisieren und verhindern muß, daß Teile des Sendesignals die sensiblen Detektoren erreichen.

Die hohe Sendeenergie ist nötig, weil wegen der nicht zu vermeidenden sendeseitigen Strahlaufweitung die Photonen auf eine Fläche von rund 70 km2 auf der Mondoberfläche verteilt werden. Dieser ausgeleuchteten Fläche steht die geringe wirksame Reflektorfläche von ca. 1 m2 gegenüber. Auf dem Rückweg vom Mond wird die reflektierte Energie geometrisch ähnlich ungünstig verteilt. Von der auf der Erde ausgeleuchteten Fläche wird nur der durch die Apertur des Empfangsteleskops (typische Öffnungen 0.75 - 1.5 m) definierte Bruchteil für die Detektion nutzbar.

Da die Nd:YAG-Festkörperlaser einen Laserübergang im nahen Infrarot bei lambda1 = 1.064 µm haben und herkömmliche Photomultipler in diesem Bereich nicht empfindlich sind, muß durch einen optischen Kristall mit nichtlinearen Eigenschaften eine Frequenzverdoppelung vorgenommen werden. Damit liegt die Arbeitswellenlänge bei lambda2 = 0.532 µm, was einem leuchtenden Grün entspricht (s. Abbildung 1).

Abbildung 1: Laser-Meßsystem der Fundamentalstation Wettzell der Forschungsgruppe Satellitengeodäsie im Betrieb (nach Verlassen des Teleskops sind die Laserpulse Lichtscheiben von ungefähr 6 cm Dicke und 75 cm Durchmesser).

Durch Umlenkspiegel wird der Laserpuls über eine Sende/Empfangsumschaltung dem Teleskop zugeführt und in Richtung auf das Reflektorfeld auf dem Mond abgestrahlt. Um das räumliche Auseinanderlaufen des Sendepulses zu minimieren, ist der Strahl so stark aufgeweitet, daß er die ganze Teleskopapertur ausfüllt. Nachdem das Signal die im Mittel 384 400 km lange Strecke zurückgelegt hat, kann nur ein kleiner Anteil des Lichtes davon auf den Reflektor treffen und den Rückweg antreten. Wiederum ein kleiner Teil davon trifft letztendlich wieder auf das Teleskop und kann über Umlenkspiegel zu dem Detektor gelangen. Heute haben bei der Detektion hochempfindliche Halbleiterdetektoren aus Silizium die bisher üblichen Photovervielfacherröhren weitgehend verdrängt.

Um die Wegstrecke des Signals in der Anlage zu bestimmen, wird ein kleiner Teil des Laserpulses abgezweigt und über eine kurze, genau bekannte Laborstrecke geführt und ebenfalls dem Empfangsdetektor zugeleitet. Subtrahiert man dann diese Teststrecke von der eigentlichen Messung, hat man alle Einflüsse durch Kabellaufzeiten der elektrischen Detektorsignale, sowie die zeitverzögernden Effekte der beteiligten elektronischen Geräte aus dem Nutzsignal entfernt. Der verbleibende Rest an Korrekturen ergibt sich durch die Laufzeit des Laserpulses im Gebäude. Der Strahlengang ist jetzt aber so beschaffen, daß er immer gleich lang bleibt, so daß man durch erneute Subtraktion eines konstanten Zahlenwertes, der durch Vergleichsmessungen bestimmt wurde, die Reduktion der Streckenmessung auf den Referenzpunkt erreicht hat. Dieser Punkt muß auch gegen Teleskopbewegungen invariant bleiben. Für eine Alt/Az.-Montierung, wie sie für das Wettzell Laser Ranging System gegeben ist, wird dieser Punkt durch den Schnittpunkt der vertikalen und der horizontalen Drehachse des Teleskops festgelegt. Das Gelingen einer Laufzeitmessung, die im optischen Spektralbereich durchgeführt wird, ist vom Wetter abhängig, ebenso von den Mondphasen (bei Vollmond hat man zu viel Störlicht, welches die Reflektortreffer überdeckt, bei Neumond fehlen optische Orientierungshilfen wie z.B. Mondkrater).

Die angemessenen Reflektoren sind so klein, daß sie im Teleskop nicht gesehen werden können. Mit Ausnahme des Reflektors von Apollo 15 im Bereich des Hadley Massivs kann man sich auch nicht an den Umgebungsstrukturen (Krater, Berge) auf der Mondoberfläche orientieren. Auch im Falle des Reflektors von Apollo 15 hat man häufig keine optische Unterstützung bei der Pointierung des Teleskops, da das Landungsgebiet nur für die Hälfte einer Lunation von der Sonne beleuchtet wird. Die Pointierung muß aber bis auf ca. 2 Bogensekunden genau und über einen Zeitraum von mehreren Stunden hinweg stabil sein. Dies ist eine hohe Anforderung an die Teleskopmontierung. Dabei muß man noch die massive Teleskopgröße mitbedenken. Bei den Stationen am McDonald Observatory (Texas) und Wettzell (Deutschland) ist der Hauptspiegel 75 cm groß, während der in Grasse (Südfrankreich) eine Apertur von 1.5 m aufweist. Die Atmosphäre stellt ein beträchtliches Hindernis dar. Zum einen führt die Luftunruhe zu Wellenfrontverschiebungen des Sendesignals und damit zu einem Herumtanzen des ,,Lichtflecks'' auf der Mondoberfläche. Zum anderen schwächt sie den Puls durch Extinktion und Lichtstreuung. Auch der Mond selber verursacht Probleme für die Messung. Er ist das hellste Objekt am Nachthimmel und stellt somit eine erhebliche Quelle für Detektorrauschen dar. Dieses Rauschen ist in der Regel so dominant, daß alle Laserechos davon zugedeckt werden. Man hilft sich hierbei mit einigen Filtermethoden. Insbesondere spielt das Empfangstor, ein enges Zeitfilter um den Zeitpunkt des zu erwartenden Echos, eine entscheidende Rolle. Für etwa 15 Minuten werden die Ereignisse im Empfangstor (Rangegate) gesammelt. Dies entspricht rund 10 000 Laserpulsen. Danach wird eine neue Serie begonnen.

Bis heute liegen rund 10 300 erfolgreiche Messungen zum Mond in Form von Normalpunkten vor. Sie wurden seit 1969 im wesentlichen vom McDonald Observatory in Texas, dem Observatoire du Calern in Grasse und dem Lure Observatory auf Hawaii durchgeführt und in jüngster Zeit vereinzelt auch von der Fundamentalstation Wettzell.

Erkennung von Treffern

Bedingt durch die knappe Energiebilanz, den Störlichteinfluß und nicht zuletzt das Eigenrauschen der Photodetektoren, gestaltet sich die Erkennung von Treffern zum Mond recht schwierig. Von den abgesendeten ca. 1019 Photonen findet im Mittel noch nicht einmal ein einziges den Weg zum Empfänger zurück. Also darf nicht bei jedem Meßvorgang mit einem positiven Ergebnis gerechnet werden. Nur alle paar mal ist überhaupt ein Photon zu registrieren, das aus dem abgesendeten und vom Reflektor auf dem Mond reflektierten Laserpuls stammt. Aber, und das macht die Sache so schwierig, bei jedem Messvorgang spricht der Photodetektor an und liefert ein Ergebnis, eine Laufzeit, die innerhalb des Rangegates liegt und mithin auch eine erfolgreiche Mondentfernungsmessung widerspiegeln könnte. Auch wenn alle empfangenen Signale ein enges Spektralfilter von etwa 0.1 Nanometer Bandbreite und außerdem ein enges Zeitfilter (Rangegate) von etwa 200 bis 400 Nanosekunden passieren müssen, verbleiben im Gesichtsfeld des Empfangsteleskops von mehreren Bogenminuten genügend Störanteile. Neben Störlicht greifen auch die durch Rauschen bedingten Störelektronen in den Meßvorgang ein. Das Signal/Störverhältnis sinkt auf diese Art und Weise erheblich unter Eins ab.

Eine effektive Verbesserung der Situation bietet sich durch folgende Überlegung an [Egger]. Während die Störereignisse mehr oder weniger gleichmäßig über das gesamte Registrierungsintervall, das Rangegate, verteilt sein werden, ist das Nutzsignal in einem wesentlich engeren Bereich zu erwarten, der vor allem durch die Güte der im vorhinein berechneten Modell-Entfernungen bestimmt sein wird. Man wird also vorteilhafterweise das Rangegate mit all seinen registrierten Ereignissen in viele Teilintervalle zerlegen und ein Histogramm bilden, mithin also abzählen, wieviel Ereignisse jeweils in einem Teilbereich stattgefunden haben. Daß diese Vermutung tatsächlich zutrifft, mögen die beiden folgenden Diagramme veranschaulichen.

Abbildung 2: Laufzeitdifferenzen, ,,vorausberechnet minus gemessen'', aufgetragen über der Zeitachse.

Abbildung 3: Histogramm der Laufzeitdifferenzen. Bei idealem Modell und idealer Messung wären alle Werte im Intervall um Null zu finden.

Jedes ,,x'' in der Abbildung 2 entspricht einer Messung. Über der Zeitskala sind die Differenzen ,,vorausberechnet minus gemessen'' aufgetragen. Hier erfolgreiche Messungen erkennen zu wollen, scheint ein ,,Ding'' der Unmöglichkeit zu sein. Zählen wir nun aber die Messungen, die jeweils in eins von 150 Teilintervallen hineinfallen, so bietet sich ein viel erfreulicheres Bild (Abbildung 3).

Ausgesprochen deutlich ist hier die Häufung in der ,,Null-Abweichungs-Gegend'' zu erkennen. Aus diesen Werten wird nach einem statistischen Verfahren ein Normalpunkt gebildet. Und solche Normalpunkte können einer detaillierten Auswertung und Verarbeitung zugeführt werden und mithin helfen die zugrundeliegenden Modelle zu verbessern.

Auswertung der Lasermessungen

Insgesamt liegen ungefähr 10 300 Mondbeobachtungen in Form von Normalpunkten vor, aus deren Analyse u.a. die genaue Mondbewegung bestimmt werden kann. Das Grundprinzip der Analyse besteht darin, die Beobachtungen (Laufzeiten der Pulse zu bestimmten Epochenzeitpunkten) einem möglichst fehlerfreien, konsistenten, theoretischen Modell gegenüberzustellen und durch eine kleinste-Quadrate-Ausgleichung ungenaue Modellparameter, für die nur Näherungswerte vorliegen, zu verbessern [Müller].

Die hohe Meßgenauigkeit macht es erforderlich, die Auswertemodelle in nach-Newton'scher Näherung zu formulieren. Basierend auf der Einstein'schen Gravitationstheorie wurden die Gleichungen zur Beschreibung der translativen und rotatorischen Bewegungen der größeren Körper des Sonnensystems (Sonne, Mond, Planeten, größere Asteroiden), die Gleichungen zur Transformation zwischen verschiedenen Bezugssystemen (z.B. baryzentrisch-geozentrisch) und die Gleichungen für die Signalausbreitung im Gravitationsfeld konsistent bis zur ersten nach-Newton'schen Näherung hergeleitet. Nach der Abschätzung der Größenordnung der einzelnen Terme, wurden die für die Analyse relevanten Modellteile in Computerprogrammen aufbereitet, um die Zielparameter durch eine vermittelnde Ausgleichung bestimmen zu können.

Die Translation der Körper wird durch die Einstein-Infeld-Hoffmann-Gleichungen beschrieben, wobei der Einfluß der Nicht-Kugelgestalt von Erde und Mond durch die entsprechenden Newton'schen Anteile modelliert ist, ebenso die Gezeitenbeschleunigung des Mondes. Zum Testen der Einstein'schen Gravitationstheorie wurden einzelne Größen parametrisiert. Z.B. kann eine mögliche Zeitveränderlichkeit der Gravitationskonstanten oder die Gültigkeit des starken Äquivalenzprinzips untersucht werden.

Die rotatorische Bewegung des Mondes ist durch modifizierte Euler'sche Kreiselgleichungen (Drehmomente werden durch die Sonne und die Erde erzeugt) beschrieben, worin Terme berücksichtigt sind, die dem elastischen und dissipativen Verhalten des Mondes Rechnung tragen.

Die Rotation der Erde wird dagegen durch verschiedene Reihen modelliert. Es wird die 1980 IAU Nutationsreihe verwendet, die Präzessionswinkel gemäß den von Lieske et al. angegebenen Werten; die Erdorientierungsparameter (Polbewegung und Erdrotationsschwankungen) sind einer kombinierten Lösung von R. Gross vom JPL (Jet Propulsion Laboratory) entnommen.

Weiterhin muß man berücksichtigen, daß die Erde nicht starr ist und sich folglich die Lage der Beobachtungsstationen aufgrund der Gezeiten der festen Erde oder wegen der Drift der Kontinentalplatten ständig ändert. Effekte wegen Polgezeiten sind ebenso modelliert wie tägliche und halbtägige Erdrotationsschwankungen.

Außer den Laufzeiten und Epochen werden auf den Bodenstationen meteorologische Daten wie Temperatur, Feuchte und Luftdruck gemessen, um auf Pulsausbreitung im Vakuum reduzieren zu können. Aber auch das auf dem Signalübertragungsweg Erde-Mond bestehende Gravitationspotential vor allem der Sonne verlängert die Laufzeit und führt zur Strahlkrümmung, was gegenüber der Pulsausbreitung im feldfreien Vakuum mehrere Meter ausmacht. Das zwingt dazu, auch die Pulsausbreitung konsistent in nach-Newton'scher Näherung der Einstein'schen Gravitationstheorie zu behandeln [Schneider].

Schließlich muß beachtet werden, daß nicht alle Größen im gleichen Bezugssystem definiert sind. Beispielsweise werden die Ephemeriden der Planeten usw. im baryzentrischen Bezugssystem berechnet, während die Stations- bzw. Reflektorkoordinaten im geozentrischen bzw. selenozentrischen Bezugssystem gegeben sind. Ähnliche Bemerkungen gelten für die zugehörigen Zeitskalen. Die Transformation zwischen den verschiedenen Systemen hat ebenfalls auf der Basis der Einstein'schen Theorie zu geschehen.

Somit hat man alle Komponenten zur Verfügung, die zur Reduktion der beobachteten Pulslaufzeit in das Modellsystem innerhalb der angestrebten Genauigkeit benötigt werden.

Die aus der Analyse der Lasermessungen zum Mond bestimmbaren Parameter lassen sich in drei Gruppen einteilen:

1. Globale Parameter des Erde-Mond-Systems (sigma entspricht einer äußeren Genauigkeitabschätzung, die sich aus der formalen Standardabweichung, wie sie die Ausgleichung liefert, und zusätzlichen Fehlerbetrachtungen berechnet):

  • Stationskoordinaten (sigma ~ 3--5 cm); optional können auch Stationsbewegungen in Form von Driftraten der zugehörigen kontinentalen Platten (sigma ~ 0.4 cm/Jr) geschätzt werden;
  • selenozentrische Reflektorkoordinaten (Genauigkeit im Meterbereich wegen der starken Korrelation mit den Rotationswinkeln);
  • die Mondrotation zu einer Anfangsepoche (physische Librationen);
  • die Position und Geschwindigkeit des Mondes für eine Anfangsepoche. Die Mondposition kann für einen bestimmten Zeitpunkt mit Zentimetergenauigkeit bezüglich des Geozentrums angegeben werden, wobei sich Unterschiede ergeben je nachdem, ob man sich als Beobachter im geozentrischen oder baryzentrischen Bezugssystem befindet;
  • die Position und Geschwindigkeit der Erde für eine Anfangsepoche;
  • die Massenmultipolmomente des Mondes bis Grad und Ordnung 3;
  • die Masse des Erde-Mond-Systems multipliziert mit der Gravitationskonstanten (sigma ~ 0.004 km3/s2);
  • die Love-Zahl des Mondes und ein Dissipationsparameter;
  • die Gezeitenbeschleunigung des Mondes. Aufgrund der Gezeitenreibung rotiert die Erde immer langsamer; da aber der Drehimpuls im Erde-Mond-System erhalten bleibt, entfernt sich der Mond jährlich um 3.8 cm von der Erde;
  • eine Korrektur zur luni-solaren Präzessionskonstanten (sigma ~ 0.3 mas/Jr, mas = Millibogensekunde)
  • die 4 (2 in-Phase und 2 außer-Phase) Nutationskoeffizienten der 18.6-Jahresperiode (sigma ~ 1--3 mas);

2. Relativistisch bedeutsame Größen (in Klammern sind die mit der Einstein'schen Theorie verträglichen Werte angegeben, in der Tabelle 1 die aus der Analyse der Lasermessungen zum Mond bestimmten Fehlergrenzen [Müller et al.]:

  • das Quadrupolmoment der Sonne J2 (~ 10-7; J2 wird hier zu den relativistischen Parametern gezählt, weil es zur anomalen Periheldrehung des Merkur beiträgt;)
  • der Raumkrümmungsfaktor gamma (= 1) und der Nichtlinearitätsparameter beta (= 1);
  • die geodätische Präzession der Mondbahn OmegaGP (~ 1.9 ''/Jhd);
  • der Nordtvedtparameter eta (= 0), der eine Verletzung des starken Äquivalenzprinzips anzeigt, also einen Hinweis gibt auf die Nichtproportionalität von träger und schwerer Masse;
  • eine zeitveränderliche Gravitationskonstante (d/dt G)/G (= 0 Jr-1);
  • die Kopplungskonstante alpha (= 0) des Yukawa-Potentials, um zu untersuchen, ob das Newton'sche 1/r2-Gesetz auch für die Erde-Mond-Entfernung gilt;
  • eine Kombination von Parametern zeta1 - zeta0 - 1 (= 0), die eine Verletzung der speziellen Relativitätstheorie anzeigt und auf die Festlegung eines bevorzugten Bezugssystems hinweist;
  • ein Parameter deltaGal (= 0 cm/s2), der die Größe des Einflusses dunkler Materie, wie sie im Zentrum der Milchstraße vermutet wird, auf die Erde-Mond-Entfernung angibt; Hier testet man, ob das Äquivalenzprinzip auch für dunkle Materie gilt.
  • die Parameter alpha1 (= 0) und alpha2 (= 0), die im Rahmen der erweiterten allgemeinen Relativitätstheorie das Vorhandensein eines bevorzugten Bezugssystems beschreiben.

     

Tabelle 1: Fehlergrenzen der relativistischen Größen
Parameter Fehler
Sonnenquadrupol J2 < 5 ·10-6
geod. Präz. OmegaGP [''/Jhd] < 1.5 ·10-2
Metrikpar. gamma < 6 ·10-3
Metrikpar. beta < 4 ·10-3
Nordtvedtpar. eta < 1 ·10-3
zeitvar. Grav.konst. (d/dt G)/G [Jr-1] < 5 ·10-12
Yuk. Koppl.konst. alphalambda = 4·105 km < 1 ·10-11
spez. Relativi. zeta1 - zeta0 - 1 < 1.5 ·10-4
Einfl. dunkl. Mat. delta gc [cm/s2] < 3 ·10-14
Effekt wg. bevorz. Bezugss. alpha1 < 9 ·10-5
Effekt wg. bevorz. Bezugss. alpha2 < 2.5 ·10-5

3. Erdrotationsgrößen:

  • die Erdrotationsphase UT0 zu den Meßzeitpunkten (Tageslängenänderungen) mit einer Genauigkeit von besser als 0.1 Millisekunden;
  • die Variation der Stationsbreite (aufgrund von Polschwankungen) zu den Meßzeitpunkten genauer als 1 mas;
  • Driftraten für die Erdrotationsgrößen.

Die Computerprogramme sind so aufgebaut, daß sie zur Bestimmung weiterer Parameter erweitert werden können. Ebenso lassen sich Modellverbesserungen gut einfügen.

Die Computerprogramme, insbesondere das Ephemeridenprogramm, wurden so angelegt, daß sie nach 30 Jahren Integrationszeit, eine Genauigkeit von 1 cm von der Modellierungsseite her liefern.

Die neueren Beobachtungen erreichen aber mittlerweile durch eine verbesserte Instrumentenausstattung eine Genauigkeit von 5 mm; in einigen Jahren sind 3 mm Beobachtungsgenauigkeit möglich. Deshalb müssen die Programme langfristig ebenfalls verfeinert werden, damit sie von der Modellseite her eine Genauigkeit von 1 mm liefern können. Exemplarisch seien einige Effekte, die in die Programme aufgenommen werden müßten, genannt:

  • Störungen von bis zu 1000 Asteroiden;
  • höhere Gravitationsfeldparameter von Mond und Erde;
  • relativistische Spin-Bahn-Kopplungen;
  • relativistisch definierte Drehmomente in den Gleichungen für die Rotation des Mondes;
  • Drehmomente, die durch die Planeten verursacht werden;
  • bessere Nutationstheorie;
  • Auflastgezeiten durch die Ozeane und die Atmosphäre;
  • verbesserte Beschreibung der Nicht-Starrheit von Mond und Erde.

Manche Effekte, wie die Erdrotationsschwankungen, lassen sich theoretisch nur unzureichend beschreiben und müssen auch künftig aus Beobachtungen bestimmt werden.

Schlußbemerkung

Die Bestimmung der exakten Mondbewegung ist eine komplexe Angelegenheit; dies betrifft die Beobachtungs- wie die Auswerteseite. Die Analyse der Lasermessungen zum Mond eröffnet aber auch ein breites Spektrum an testbaren Größen, die wiederum zur Validierung der zugrunde liegenden Modelle und Theorien beitragen. Dazu ist neben der hohen Meßgenauigkeit besonders die lange Beobachtungsspanne (27 Jahre) von Vorteil. Wünschenswert wäre es, wenn künftig mehr Stationen Lasermessungen zum Mond durchführen würden/könnten, um breitenabhängige Parameter gut trennen zu können. Auf jeden Fall sollte immer mindestens eine Station Mondbeobachtungen ausführen, um den Vorteil einer ,,unterbrechungsfreien'' Beobachtungsabfolge für spätere Untersuchungen nutzen zu können.

Literatur

Bender, P. L. et. al.: The Lunar Laser Ranging Experiment. In: Science (1973), Vol. 182, No. 4109, 229-238

Egger, D.: Systemanalyse der Laserentfernungsmessung. Veröffentlichung der Deutschen Geodätischen Kommission, Reihe C, Nr. 311, München 1985

Müller, J.: Analyse von Lasermessungen zum Mond im Rahmen einer post-Newtonschen Theorie. Veröffentlichung der Deutschen Geodätischen Kommission, Reihe C, Nr. 383, München 1991

Müller, J., Schneider, M., Soffel, M., Ruder, H.: Testing Einstein's Theory of Gravity by Lunar Laser Ranging. In: Symposia Gaussiana, Conference A, Proceedings of the 2nd Gauss Symposium, Munich, Germany, August 2-7, 1993, ed. by M.Behara, R.Fritsch, R.G.Lintz, Walter de Gruyter & Co., Berlin/New York 1995, P. 637-647

Schneider, M.: Himmelsmechanik, Band III: Gravitationstheorie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996.

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